Sinus, Kosinus und Tangens

Drei Funktionen, aber die gleiche Idee.

Rechtwinkliges Dreieck

Sinus, Kosinus und Tangens sind die wichtigsten Funktionen in der Trigonometrie und basieren auf einem rechtwinkligen Dreieck.

Bevor wir uns in die Funktionen vertiefen, hilft es, jeder Seite eines rechtwinkligen Dreiecks einen Namen zu geben:

Dreieck mit Gegenüberliegenden, Angrenzend und Hypotenuse

  • „Opposite“ ist gegenüber dem Winkel θ
  • „Adjacent“ ist angrenzend (neben) an den Winkel θ
  • „Hypotenuse“ ist die lange

Beispiele für Opposite, Adjacent und Hypotenuse

Adjacent ist immer neben dem Winkel

Und Opposite ist gegenüber dem Winkel

Sinus, Kosinus und Tangens

Sinus, Kosinus und Tangens (oft abgekürzt zu sin, cos und tan) sind jeweils ein Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks:

sin=seitengleich/hypotenuse cos=seitengleich/hypotenuse tan=seitengleich/anliegend

Für einen gegebenen Winkel θ bleibt jedes Verhältnis gleich
egal wie groß oder klein das Dreieck ist

Um sie zu berechnen:

Dividieren Sie die Länge einer Seite durch eine andere Seite

Beispiel: Was ist der Sinus von 35°?

Dreieck mit 2,8, 4,0 und 4.9 Seiten

Anhand dieses Dreiecks (Längen sind nur auf eine Nachkommastelle genau):

sin(35°) = GegenseitigeHypotenuse
= 2.84.9
= 0.57…
cos(35°) = AngrenzendeHypotenuse
= 4.04.9
= 0.82…
tan(35°) = OppositeAdjacent
= 2.84.0
= 0.70…

Größe spielt keine Rolle

Das Dreieck kann groß oder klein sein und das Verhältnis der Seiten bleibt gleich.

Nur der Winkel ändert das Verhältnis.

Versuchen Sie, den Punkt „A“ zu ziehen, um den Winkel zu ändern, und den Punkt „B“, um die Größe zu ändern:

Rechner-sin-cos-tan

Gute Taschenrechner haben sin, cos und tan drauf, um es Ihnen leicht zu machen. Geben Sie einfach den Winkel ein und drücken Sie die Taste.

Aber Sie müssen sich trotzdem merken, was sie bedeuten!

In Bildform:

sin=gegensätzlich/Hypotenuse cos=anliegend/Hypotenuse tan=gegensätzlich/anliegend Einzelabbildung

Hier üben:

Sohcahtoa

Wie merken? Denken Sie an „Sohcahtoa“!

Es funktioniert so:

Soh…
Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse
…cah…
Cosinus = Adjacent / Hypotenuse
…toa
Tangens = Gegenüber / Angrenzend

Sie können mehr über sohcahtoa lesen … bitte merken Sie es sich, es kann in einer Prüfung helfen!

Winkel von 0° bis 360°

Bewegen Sie die Maus, um zu sehen, wie sich verschiedene Winkel (in Bogenmaß oder Grad) auf Sinus, Kosinus und Tangens auswirken.

In dieser Animation ist die Hypotenuse 1 und bildet den Einheitskreis.

Beachten Sie, dass die angrenzende Seite und die gegenüberliegende Seite positiv oder negativ sein können, wodurch sich Sinus, Kosinus und Tangens auch zwischen positiven und negativen Werten ändern.

smiley„Warum sind Sinus und
Tan nicht zur Party gegangen?“
„… nur weil!“

Beispiele

Beispiel: Wie lauten Sinus, Kosinus und Tangens von 30°?

Das klassische 30°-Dreieck hat eine Hypotenuse der Länge 2, eine gegenüberliegende Seite der Länge 1 und eine angrenzende Seite von √3:

30-Grad-Dreieck

Nun kennen wir die Längen, wir können die Funktionen berechnen:

Sinus
sin(30°) = 1 / 2 = 0.5
Cosinus
cos(30°) = 1,732 / 2 = 0,866…
Tangens
tan(30°) = 1 / 1.732 = 0,577…

(Holen Sie Ihren Taschenrechner heraus und überprüfen Sie die Werte!)

Beispiel: Wie lauten Sinus, Kosinus und Tangens von 45°?

Das klassische 45°-Dreieck hat zwei Seiten von 1 und eine Hypotenuse von √2:

45-Grad-Dreieck

Sinus
sin(45°) = 1 / 1.414 = 0.707…
Cosinus
cos(45°) = 1 / 1.414 = 0.707…
Tangens
tan(45°) = 1 / 1 = 1

Warum?

Warum sind diese Funktionen wichtig?

  • Weil sie uns Winkel berechnen lassen, wenn wir die Seiten kennen
  • Und sie lassen uns die Seiten berechnen, wenn wir die Winkel kennen

Triggerbeispiel

Beispiel: Verwenden Sie die Sinusfunktion, um „d“ zu finden

Wir wissen:

  • Das Kabel bildet einen Winkel von 39° mit dem Meeresboden
  • Das Kabel hat eine Länge von 30 m.

Und wir wollen „d“ (den Abstand nach unten) wissen.

Beginnen Sie mit:sin 39° = Gegen-/Hypotenuse
sin 39° = d/30
Tauschen Sie die Seiten:d/30 = sin 39°
Verwenden Sie einen Taschenrechner, um sin 39° zu finden: d/30 = 0,6293…
Multiplizieren Sie beide Seiten mit 30: d = 0,6293… x 30
d = 18,88 auf 2 Nachkommastellen.

Die Tiefe „d“ ist 18,88 m

Übung

Versuchen Sie diese Übung auf dem Papier, bei der Sie die Sinusfunktion für alle Winkel von 0° bis 360° berechnen und das Ergebnis grafisch darstellen können. Es wird Ihnen helfen, diese relativ einfachen Funktionen zu verstehen.

Sie können auch Graphen von Sinus, Kosinus und Tangens sehen.

Und spielen Sie mit einer Feder, die eine Sinuswelle erzeugt.

Weniger gebräuchliche Funktionen

Zur Vervollständigung des Bildes gibt es noch 3 weitere Funktionen, bei denen wir eine Seite durch eine andere dividieren, aber sie werden nicht so häufig verwendet.

Sie sind gleich 1 geteilt durch cos, 1 geteilt durch sin und 1 geteilt durch tan:

sec(θ) = HypotenuseAdjacent

Sekantenfunktion:
(=1/cos)
Kosekantenfunktion:
csc(θ) = HypotenuseOpposite (=1/sin)
Kotangensfunktion:
cot(θ) = AdjacentOpposite (=1/tan)

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