Seno, Coseno y Tangente

Tres funciones, pero la misma idea.

Triángulo recto

Seno, Coseno y Tangente son las principales funciones utilizadas en Trigonometría y se basan en un triángulo rectángulo.

Antes de meternos de lleno en las funciones, ayuda dar un nombre a cada lado de un triángulo rectángulo:

triángulo que muestra el Opuesto, Adyacente e Hipotenusa

  • «Opuesto» es opuesto al ángulo θ
  • «Adyacente» es adyacente (próximo) al ángulo θ
  • «Hipotenusa» es el largo

ejemplos de Opuesto, Adyacente e Hipotenusa

Adyacente es siempre al lado del ángulo

Y Opuesto es opuesto al ángulo

Seno, Coseno y Tangente

Seno, Coseno y Tangente (a menudo abreviados como sin, cos y tan) son cada uno una razón de los lados de un triángulo rectángulo:

sin=oposición/hipotenusa cos=adyacente/hipotenusa tan=oposición/adyacente

Para un ángulo θ dado cada razón se mantiene igual
sin importar lo grande o pequeño que sea el triángulo

Para calcularlos:

Dividir la longitud de un lado por otro lado

Ejemplo: ¿Cuál es el seno de 35°?

triángulo con 2,8, 4,0 y 4.9 lados

Utilizando este triángulo (las longitudes son sólo con un decimal):

= 2.84,9

sin(35°) = Hipotenusa opuesta
= 0,57…
cos(35°) = Hipotenusa Adyacente
= 4.04.9 = 0.82…
tan(35°) = OppositeAdjacent
= 2.84.0
= 0,70…

El tamaño no importa

El triángulo puede ser grande o pequeño y la relación de lados se mantiene igual.

Sólo el ángulo cambia la proporción.

Prueba a arrastrar el punto «A» para cambiar el ángulo y el punto «B» para cambiar el tamaño:

calculadora-sin-cos-tan

Las buenas calculadoras llevan sin, cos y tan, para ponértelo fácil. Sólo tienes que poner el ángulo y pulsar el botón.

¡Pero aún tienes que recordar lo que significan!

En forma de imagen:

sin=oposición/hipotenusa cos=adyacente/hipotenusa tan=oposición/adyacente ilustración individual

Practica aquí:

Sohcahtoa

¿Cómo recordarlo? ¡Piensa en «Sohcahtoa»!

Funciona así:

Soh…
Seno = Opuesto / Hipotenusa
…cah…
Coseno = Adyacente / Hipotenusa
…toa
Tangente = Opuesto / Adyacente

Puedes leer más sobre sohcahtoa … por favor, recuérdalo, ¡puede ayudarte en un examen!

Ángulos de 0° a 360°

Mueve el ratón para ver cómo afectan los diferentes ángulos (en radianes o grados) al seno, coseno y tangente.

En esta animación la hipotenusa es 1, haciendo el Círculo Unitario.

Nota que el lado adyacente y el lado opuesto pueden ser positivos o negativos, lo que hace que el seno, el coseno y la tangente cambien también entre valores positivos y negativos.

smiley«¿Por qué no fueron el pecado y el
tan a la fiesta?».
«… ¡solo porque!»

Ejemplos

Ejemplo: ¿qué son el seno, el coseno y la tangente de 30°?

El clásico triángulo de 30° tiene una hipotenusa de longitud 2, un lado opuesto de longitud 1 y un lado adyacente de √3:

Triángulo de 30 grados

Ahora que conocemos las longitudes, podemos calcular las funciones:

tan(30°) = 1 / 1.732 = 0,577…

Seno
sin(30°) = 1 / 2 = 0.5
Coseno
cos(30°) = 1,732 / 2 = 0,866…
Tangente

(¡saca la calculadora y compruébalos!)

Ejemplo: ¿qué son el seno, el coseno y la tangente de 45°?

El clásico triángulo de 45° tiene dos lados de 1 y una hipotenusa de √2:

Triángulo de 45º

¿Por qué?

  • Porque nos permiten calcular los ángulos cuando conocemos los lados
  • Y nos permiten calcular los lados cuando conocemos los ángulos

ejemplo de trigonometría

Ejemplo: Utiliza la función seno para encontrar «d»

Sabemos:

  • El cable forma un ángulo de 39º con el fondo marino
  • El cable tiene una longitud de 30 metros.

Y queremos saber «d» (la distancia hacia abajo).

Comienza con:sin 39° = opuesto/hipotenusa
sin 39° = d/30
Intercala los lados:d/30 = sin 39°
Usa una calculadora para hallar sin 39°: d/30 = 0,6293…
Multiplica ambos lados por 30:d = 0,6293… x 30
d = 18,88 con 2 decimales.

La profundidad «d» es de 18,88 m

Ejercicio

Prueba este ejercicio en papel en el que puedes calcular la función seno para todos los ángulos desde 0° hasta 360°, y luego graficar el resultado. Te ayudará a entender estas funciones relativamente sencillas.

También puedes ver Gráficas de seno, coseno y tangente.

Y jugar con un muelle que hace una onda sinusoidal.

Funciones menos comunes

Para completar el cuadro, hay otras 3 funciones en las que dividimos un lado entre otro, pero no son de uso tan común.

Son iguales a 1 dividido por cos, 1 dividido por sin y 1 dividido por tan:

Seno
seno(45º) = 1 / 1.414 = 0,707…
Coseno
cos(45°) = 1 / 1,414 = 0,707…
Tangente
tan(45°) = 1 / 1 = 1
Función secante:
sec(θ) = HipotenusaAdyacente (=1/cos) (=1/cos)
Función Cosecante:
csc(θ) = HipotenusaOpuesta (=1/sin) (=1/sin)
Función Cotangente:
cot(θ) = AdyacenteOpuesto (=1/tan)

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