Sinus, Cosinus et Tangente

Trois fonctions, mais même idée.

Triangle rectangle

Sinus, Cosinus et Tangente sont les principales fonctions utilisées en trigonométrie et sont basées sur un triangle rectangle.

Avant de se lancer dans les fonctions, il est utile de donner un nom à chaque côté d’un triangle rectangle :

triangle montrant Opposé, Adjacent et Hypoténuse

  • « Opposé » est opposé à l’angle θ
  • « Adjacent » est adjacent (à côté) à l’… angle θ
  • « Hypoténuse » est le long

exemples d'Opposé, Adjacent et Hypoténuse

Adjacent est toujours à côté de l’angle

Et Opposé est à l’opposé de l’angle

Sinus, Cosinus et Tangente

Sinus, Cosinus et Tangente (souvent abrégés en sin, cos et tan) sont chacun un rapport des côtés d’un triangle rectangle :

sin=opposite/hypoténuse cos=adjacent/hypoténuse tan=opposite/adjacent

Pour un angle θ donné, chaque rapport reste le même
quelle que soit la taille du triangle

Pour les calculer :

Diviser la longueur d’un côté par un autre côté

Exemple : Quel est le sinus de 35° ?

triangle à 2,8, 4,0 et 4.9 côtés

Utilisant ce triangle (les longueurs ne sont qu’à une décimale près):

sin(35°) = OpposéHypoténuse
= 2.84.9
= 0.57…
cos(35°) = AdjacentHypotenuse
= 4.04.9
= 0.82…
tan(35°) = OpposéAdjacent
= 2.84.0
= 0,70…

La taille n’a pas d’importance

Le triangle peut être grand ou petit et le rapport des côtés reste le même.

Seul l’angle modifie le rapport.

Essayez de faire glisser le point « A » pour changer l’angle et le point « B » pour changer la taille:

calculatrice-sin-cos-tan

Les bonnes calculatrices ont sin, cos et tan sur elles, pour vous faciliter la tâche. Il suffit de mettre l’angle et d’appuyer sur le bouton.

Mais il faut quand même se souvenir de leur signification !

En forme d’image :

sin=opposé/hypoténuse cos=adjacent/hypoténuse tan=opposé/adjacent illustration individuelle

Pratiquez ici :

Sohcahtoa

Comment s’en souvenir ? Pensez « Sohcahtoa » !

Cela fonctionne comme suit :

Soh….
Sinus = Opposé / Hypoténuse
…cah…
Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
…toa
Tangente = Opposée / Adjacente

Vous pouvez en savoir plus sur sohcahtoa … retenez-le, cela peut vous aider lors d’un examen !

Angles de 0° à 360°

Déplacez la souris pour voir comment différents angles (en radians ou en degrés) affectent le sinus, le cosinus et la tangente.

Dans cette animation, l’hypoténuse est 1, ce qui fait le cercle unitaire.

Notez que le côté adjacent et le côté opposé peuvent être positifs ou négatifs, ce qui fait que le sinus, le cosinus et la tangente changent entre des valeurs positives et négatives également.

smiley« Pourquoi sin et
tan ne sont pas allés à la fête ? »
« … juste parce que ! »

Exemples

Exemple : quels sont le sinus, le cosinus et la tangente de 30° ?

Le triangle classique à 30° a une hypoténuse de longueur 2, un côté opposé de longueur 1 et un côté adjacent de √3:

triangle à 30 degrés

Maintenant que nous connaissons les longueurs, nous pouvons calculer les fonctions :

Sin
sin(30°) = 1 / 2 = 0.5
Cosine
cos(30°) = 1,732 / 2 = 0,866…
Tangente
tan(30°) = 1 / 1.732 = 0,577…

(sortez votre calculatrice et vérifiez-les !)

Exemple : quels sont le sinus, le cosinus et la tangente de 45° ?

Le triangle classique à 45° a deux côtés de 1 et une hypoténuse de √2 :

triangle à 45 degrés

Sin
sin(45°) = 1 / 1.414 = 0,707…
Cosin
cos(45°) = 1 / 1,414 = 0,707…
Tangente
tan(45°) = 1 / 1 = 1

Pourquoi?

Pourquoi ces fonctions sont-elles importantes ?

  • Parce qu’elles nous permettent de travailler les angles quand on connaît les côtés
  • Et elles nous permettent de travailler les côtés quand on connaît les angles

exemple de trigonométrie

Exemple : Utiliser la fonction sinus pour trouver « d »

Nous savons :

  • Le câble fait un angle de 39° avec le fond marin
  • Le câble a une longueur de 30 mètres.

Et nous voulons connaître « d » (la distance vers le bas).

Commencer par :sin 39° = opposé/hypoténuse
sin 39° = d/30
Échanger les côtés :d/30 = sin 39°
Utiliser une calculatrice pour trouver sin 39° : d/30 = 0,6293….
Multiplier les deux côtés par 30 :d = 0,6293… x 30
d = 18,88 à 2 décimales près.

La profondeur « d » est de 18,88 m

Exercice

Tentez cet exercice sur papier qui vous permet de calculer la fonction sinus pour tous les angles de 0° à 360°, puis de représenter graphiquement le résultat. Cela vous aidera à comprendre ces fonctions relativement simples.

Vous pouvez également voir les graphiques du sinus, du cosinus et de la tangente.

Et jouer avec un ressort qui fait une onde sinusoïdale.

Fonctions moins courantes

Pour compléter le tableau, il existe 3 autres fonctions où l’on divise un côté par un autre, mais elles ne sont pas aussi couramment utilisées.

Elles sont égales à 1 divisé par cos, 1 divisé par sin, et 1 divisé par tan :

(=1/cos)

Fonction décante :
sec(θ) = HypoténuseAdjacent
Fonction cosécante :
csc(θ) = HypoténuseOpposé (=1/sin)
Fonction cotangente :
cot(θ) = AdjacentOpposé (=1/tan)

.

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