Seno, Coseno e Tangente

Tre funzioni, ma stessa idea.

Triangolo retto

Seno, Coseno e Tangente sono le principali funzioni usate in trigonometria e si basano su un triangolo rettangolo.

Prima di addentrarci nelle funzioni, aiuta dare un nome ad ogni lato di un triangolo rettangolo:

triangolo che mostra Opposto, Adiacente e Ipotenusa

  • “Opposto” è opposto all’angolo θ
  • “Adiacente” è adiacente (accanto) all’angolo angolo θ
  • “Ipotenusa” è quella lunga

esempi di Opposto, Adiacente e Ipotenusa

Adiacente è sempre accanto all’angolo

E Opposto è opposto all’angolo

Seno, Coseno e Tangente

Seno, Coseno e Tangente (spesso abbreviati in sin, cos e tan) sono ciascuno un rapporto di lati di un triangolo rettangolo:

sin=opposto/ipotenusa cos=adiacente/ipotenusa tan=opposto/adiacente

Per un dato angolo θ ogni rapporto rimane lo stesso
non importa quanto grande o piccolo sia il triangolo

Per calcolarli:

Dividere la lunghezza di un lato per un altro lato

Esempio: Qual è il seno di 35°?

triangolo con 2,8, 4,0 e 4.9 lati

Utilizzando questo triangolo (le lunghezze sono solo con una cifra decimale):

= 4.04.9

sin(35°) = OppositeHypotenuse
= 2.84.9
= 0.57…
cos(35°) = AdjacentHypotenuse
= 0.82…
tan(35°) = OppositeAdjacent
= 2.84.0
= 0.70…

La dimensione non ha importanza

Il triangolo può essere grande o piccolo e il rapporto dei lati rimane lo stesso.

Solo l’angolo cambia il rapporto.

Prova a trascinare il punto “A” per cambiare l’angolo e il punto “B” per cambiare la dimensione:

calcolatrice-sin-cos-tan

Le buone calcolatrici hanno sin, cos e tan su di esse, per renderti le cose facili. Basta inserire l’angolo e premere il pulsante.

Ma devi ancora ricordare cosa significano!

In forma di immagine:

sin=opposto/ipotenusa cos=adiacente/ipotenusa tan=opposto/adiacente illustrazione individuale

Pratica qui:

Sohcahtoa

Come ricordare? Pensa “Sohcahtoa”!

Funziona così:

Soh…
Seno = Opposto / Ipotenusa
…cah…
Coseno = Adiacente / Ipotenusa
…toa
Tangente = Opposta / Adiacente

Puoi leggere di più su sohcahtoa … ricordatelo, potrebbe esserti utile in un esame!

Angoli da 0° a 360°

Sposta il mouse per vedere come angoli diversi (in radianti o gradi) influenzano seno, coseno e tangente.

In questa animazione l’ipotenusa è 1, facendo il cerchio unitario.

Nota che il lato adiacente e il lato opposto possono essere positivi o negativi, il che fa cambiare anche il seno, il coseno e la tangente tra valori positivi e negativi.

smiley“Perché il peccato e il
tano non sono andati alla festa?
“… solo perché!”

Esempi

Esempio: quali sono seno, coseno e tangente di 30°?

Il classico triangolo di 30° ha un’ipotenusa di lunghezza 2, un lato opposto di lunghezza 1 e un lato adiacente di √3:

Triangolo di 30 gradi

Ora sappiamo le lunghezze, possiamo calcolare le funzioni:

Seno
sin(30°) = 1 / 2 = 0.5
Coseno
cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866…
Tangente
tan(30°) = 1 / 1.732 = 0,577…

(tira fuori la calcolatrice e controlla!)

Esempio: quali sono il seno, il coseno e la tangente di 45°?

Il classico triangolo di 45° ha due lati di 1 e un’ipotenusa di √2:

Triangolo di 45 gradi

Seno
sin(45°) = 1 / 1.414 = 0,707…
Coseno
cos(45°) = 1 / 1,414 = 0,707…
Tangente
tan(45°) = 1 / 1 = 1

Perché?

  • Perché ci permettono di calcolare gli angoli quando conosciamo i lati
  • E ci permettono di calcolare i lati quando conosciamo gli angoli

esempio di trigonometria

esempio: Usare la funzione seno per trovare “d”

Sappiamo:

  • Il cavo fa un angolo di 39° con il fondo del mare
  • Il cavo ha una lunghezza di 30 metri.

E vogliamo sapere “d” (la distanza in basso).

Inizia con:sin 39° = opposto/ipotenusa
sin 39° = d/30
Scambia i lati:d/30 = sin 39°
Usa una calcolatrice per trovare sin 39°: d/30 = 0,6293…
Moltiplicare entrambi i lati per 30:d = 0,6293… x 30
d = 18,88 con 2 cifre decimali.

La profondità “d” è 18,88 m

Esercizio

Prova questo esercizio su carta in cui puoi calcolare la funzione seno per tutti gli angoli da 0° a 360°, e poi graficare il risultato. Ti aiuterà a capire queste funzioni relativamente semplici.

Puoi anche vedere i grafici di seno, coseno e tangente.

E gioca con una molla che fa un’onda sinusoidale.

Funzioni meno comuni

Per completare il quadro, ci sono altre 3 funzioni in cui dividiamo un lato per un altro, ma non sono così comuni.

Sono uguali a 1 diviso per cos, 1 diviso per sin, e 1 diviso per tan:

Funzione secante:
sec(θ) = IpotenusaAdiacente (=1/cos)
Funzione secante:
csc(θ) = HypotenuseOpposite (=1/sin)
Funzione Cotangente:
cot(θ) = AdiacenteOpposto (=1/tan)

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