Sinus, Cosinus i Tangens

Trzy funkcje, ale ta sama idea.

Trójkąt prosty

Sinus, Cosinus i Tangens są głównymi funkcjami używanymi w trygonometrii i są oparte na trójkącie prostokątnym.

Przed utknięciem w funkcjach, pomaga nadać nazwę każdej stronie trójkąta prostego:

triangle showing Opposite, Przeciwległe, Przyległe i Hipotensje

  • „Przeciwległe” to przeciwległe do kąta θ
  • „Przyległe” to przyległe (obok) do kąta θ
  • „Hypotenuse” jest dłuższą jedynką

przykłady Opposite, Adjacent and Hypotenuse

Adjacent is always next to the angle

A Opposite is opposite the angle

Sinus, cosinus i tangens

Sinus, cosinus i tangens (często skracane do sin, cos i tan) są stosunkami boków trójkąta prostokątnego:

sin=opposite/hypotenuse cos=adjacent/hypotenuse tan=opposite/adjacent

Dla danego kąta θ każdy stosunek pozostaje taki sam
bez względu na to, jak duży lub mały jest trójkąt

Aby je obliczyć:

Dziel długość jednego boku przez drugi bok

Przykład: Ile wynosi sinus kąta 35°?

trójkąt o bokach 2,8, 4,0 i 4.9 boków

Używając tego trójkąta (długości są podane tylko do jednego miejsca po przecinku):

sin(35°) = OppositeHypotenuse
= 2.84.9
= 0.57…
cos(35°) = AdjacentHypotenuse
= 4.04.9
= 0.82…
tan(35°) = OppositeAdjacent
= 2.84.0
= 0.70…

Size Does Not Matter

Trójkąt może być duży lub mały, a stosunek boków pozostaje taki sam.

Tylko kąt zmienia stosunek.

Spróbuj przeciągnąć punkt „A”, aby zmienić kąt i punkt „B”, aby zmienić rozmiar:

kalkulator-sin-cos-tan

Dobre kalkulatory mają sin, cos i tan na nich, aby ułatwić ci zadanie. Po prostu wpisz kąt i naciśnij przycisk.

Ale nadal musisz pamiętać, co one oznaczają!

W formie obrazkowej:

sin=pozycja przeciwna/hipotensja cos=przyległa/hipotensja tan=pozycja przeciwna/przyległa Ilustracja indywidualna

Praktykuj tutaj:

Sohcahtoa

Jak zapamiętać? Pomyśl „Sohcahtoa”!

To działa tak:

Soh…
Sinus = Przeciwieństwo / Hipotensja
…cah…
Cosinus = Adjacent / Hypotenuse
…toa
Styczna = Przeciwległa / Przyległa

Możesz przeczytać więcej o sohcahtoa … proszę zapamiętaj to, to może pomóc w egzaminie !

Kąty od 0° do 360°

Przesuń myszką dookoła, aby zobaczyć jak różne kąty (w radianach lub stopniach) wpływają na sinus, cosinus i tangens.

W tej animacji przeciwprostokątna ma długość 1, tworząc okrąg jednostkowy.

Zauważ, że przyległy bok i przeciwległy bok mogą być dodatnie lub ujemne, co sprawia, że sinus, cosinus i tangens zmieniają się między wartościami dodatnimi i ujemnymi również.

smiley„Dlaczego sin i
tan nie poszli na imprezę?”
„… tylko cos!”

Przykłady

Przykład: jakie są sinus, cosinus i tangens kąta 30° ?

Klasyczny trójkąt 30° ma przeciwprostokątną o długości 2, przeciwległy bok o długości 1 i bok przyległy o długości √3:

Trójkąt 30 stopni

Teraz znamy długości, możemy obliczyć funkcje:

Sinus
sin(30°) = 1 / 2 = 0.5
Cosinus
cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866…
Tangens
tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577…

(wyjmij kalkulator i sprawdź je!)

Przykład: jakie są sinus, cosinus i tangens kąta 45° ?

Klasyczny trójkąt 45° ma dwa boki o długości 1 i przeciwprostokątną o długości √2:

trójkąt 45 stopni

Sinus
sin(45°) = 1 / 1.414 = 0.707…
Cosinus
cos(45°) = 1 / 1.414 = 0.707…
Tangens
tan(45°) = 1 / 1 = 1

Dlaczego?

Dlaczego te funkcje są ważne?

  • Ponieważ pozwalają nam opracować kąty, gdy znamy boki
  • I pozwalają nam opracować boki, gdy znamy kąty

przykład trygonalny

Przykład: Użyj funkcji sinus do znalezienia „d”

Wiemy:

  • Kabel tworzy z dnem morskim kąt 39°
  • Kabel ma długość 30 metrów.

I chcemy znać „d” (odległość w dół).

Zacznij od:sin 39° = przeciwna/przekątna
sin 39° = d/30
Zamień strony:d/30 = sin 39°
Użyj kalkulatora, aby znaleźć sin 39°: d/30 = 0.6293….
Pomnóż obie strony przez 30:d = 0,6293… x 30
d = 18,88 do 2 miejsc po przecinku.

Głębokość „d” wynosi 18,88 m

Ćwiczenie

Spróbuj tego ćwiczenia na papierze, w którym możesz obliczyć funkcję sinus dla wszystkich kątów od 0° do 360°, a następnie wykreślić wynik. Pomoże Ci to zrozumieć te stosunkowo proste funkcje.

Możesz również zobaczyć Wykresy sinusów, cosinusów i tangensów.

I pobawić się sprężyną, która wytwarza sinusoidę.

Mniej popularne funkcje

Aby dopełnić obrazu, są jeszcze 3 inne funkcje, w których dzielimy jeden bok przez drugi, ale nie są one tak powszechnie używane.

Są one równe 1 podzielonemu przez cos, 1 podzielonemu przez sin i 1 podzielonemu przez tan:

Funkcja sieczna:
sec(θ) = HipotenuseAdjacent (=1/cos)
Funkcja cosecant:
csc(θ) = HypotenuseOpposite (=1/sin)
Funkcja styczna:
cot(θ) = AdjacentOpposite (=1/tan)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *