Sinus, Cosinus en Raaklijn

Drie functies, maar hetzelfde idee.

Rechter driehoek

Sinus, Cosinus en Raaklijn zijn de belangrijkste functies die in de Trigonometrie worden gebruikt en zijn gebaseerd op een rechthoekige driehoek.

Voordat we aan de functies beginnen, helpt het om elke zijde van een rechthoekige driehoek een naam te geven:

driehoek met Opposite, Adjacent en Hypotenuse

  • “Opposite” is tegenovergesteld aan de hoek θ
  • “Adjacent” is aangrenzend (naast) aan de hoek θ
  • “Hypotenusa” is de lange

voorbeelden van Opposite, Adjacent en Hypotenuse

Adjacent is altijd naast de hoek

And Opposite is tegenover de hoek

Sine, Cosine en Tangent

Sine, Cosine en Tangent (vaak afgekort tot sin, cos en tan) zijn elk een verhouding van de zijden van een rechthoekige driehoek:

sin=opposiet/hypotenusa cos=aangrenzend/hypotenusa tan=opposiet/aangrenzend

Voor een gegeven hoek θ blijft elke verhouding gelijk
hoe groot of klein de driehoek ook is

Om ze te berekenen:

Deel de lengte van de ene zijde door de andere zijde

Voorbeeld: Wat is de sinus van 35°?

driehoek met 2,8, 4,0 en 4.9 zijden

Uitgaande van deze driehoek (lengtes zijn slechts tot op één decimaal nauwkeurig):

84.9 cos(35°)

sin(35°) = OppositeHypotenuse
= 2.84.9
= 2.84.9
= 0.57…
= AangrenzendeHypotenusa
= 4.04.9
= 0.82…
tan(35°) = OppositeAdjacent
= 2.84.0
= 0.70…

De grootte doet er niet toe

De driehoek kan groot of klein zijn en de verhouding van de zijden blijft hetzelfde.

Alleen de hoek verandert de verhouding.

Probeer eens punt “A” te verslepen om de hoek te veranderen en punt “B” om de grootte te veranderen:

calculator-sin-cos-tan

Goede calculators hebben sin, cos en tan op zich staan, om het je gemakkelijk te maken. Je hoeft alleen maar de hoek in te voeren en op de knop te drukken.

Maar je moet nog wel weten wat ze betekenen!

In beeld:

sin=opposiet/hypotenusa cos=aangrenzend/hypotenusa tan=opposiet/aangrenzend afzonderlijke illustratie

Hier oefenen:

Sohcahtoa

Hoe te onthouden? Denk aan “Sohcahtoa”!

Het werkt als volgt:

Soh…
Sinus = Opposiet / Hypotenusa
…cah…
Cosinus = Aangrenzend / Hypotenusa
…toa
Raaklijn = Tegenovergesteld / Aangrenzend

Je kunt meer lezen over sohcahtoa … onthoud het alsjeblieft, het kan helpen bij een examen !

Hoeken van 0° tot 360°

Beweeg de muis rond om te zien hoe verschillende hoeken (in radialen of graden) sinus, cosinus en tangens beïnvloeden.

In deze animatie is de schuine zijde 1, waardoor de Eenheidscirkel ontstaat.

Merk op dat de aanliggende zijde en de tegenoverliggende zijde positief of negatief kunnen zijn, waardoor de sinus, cosinus en tangens ook veranderen tussen positieve en negatieve waarden.

smiley“Waarom zijn sin en
tan niet naar het feest gegaan?”
“… gewoon cos!”

Voorbeelden

Voorbeeld: wat zijn de sinus, cosinus en tangens van 30° ?

De klassieke 30° driehoek heeft een schuine zijde van lengte 2, een overstaande zijde van lengte 1 en een aanliggende zijde van √3:

30-graden driehoek

Nu we de lengtes weten, kunnen we de functies berekenen:

Sinus
sin(30°) = 1 / 2 = 0.5
Cosinus
cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866…
Tangens
tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577…

(haal je rekenmachine tevoorschijn en controleer ze!)

Voorbeeld: wat zijn de sinus, cosinus en tangens van 45° ?

De klassieke driehoek van 45° heeft twee zijden van 1 en een schuine zijde van √2:

45 graden driehoek

Sinus
sin(45°) = 1 / 1.414 = 0.707…
Cosinus
cos(45°) = 1 / 1.414 = 0.707…
Tangens
tan(45°) = 1 / 1 = 1

Waarom?

Waarom zijn deze functies belangrijk?

  • Omdat ze ons hoeken laten berekenen als we zijden kennen
  • En ze laten ons zijden berekenen als we hoeken kennen

trig voorbeeld

Voorbeeld: Gebruik de sinusfunctie om “d” te vinden

We weten:

  • De kabel maakt een hoek van 39° met de zeebodem
  • De kabel heeft een lengte van 30 meter.

En we willen “d” weten (de afstand naar beneden).

Begin met:sin 39° = tegenovergestelde/hypotenusa
sin 39° = d/30
Verwissel van zijde:d/30 = sin 39°
Gebruik een rekenmachine om sin 39° te vinden: d/30 = 0,6293…
Vermenigvuldig beide zijden met 30:d = 0.6293… x 30
d = 18.88 met 2 decimalen.

De diepte “d” is 18,88 m

Oefening

Probeer deze papieren oefening waarin je de sinusfunctie kunt berekenen voor alle hoeken van 0° tot 360°, en vervolgens het resultaat in een grafiek kunt zetten. Het zal je helpen om deze relatief eenvoudige functies te begrijpen.

Je kunt ook Grafieken van sinus, cosinus en tangens bekijken.

En spelen met een veer die een sinusgolf maakt.

Minder gebruikelijke functies

Om het plaatje compleet te maken, zijn er nog 3 andere functies waarbij we de ene zijde delen door de andere, maar die worden niet zo vaak gebruikt.

Zij zijn gelijk aan 1 gedeeld door cos, 1 gedeeld door sin, en 1 gedeeld door tan:

Secant Functie:
sec(θ) = HypotenusaAdjacent (=1/cos)
Cosecant Functie:
csc(θ) = HypotenusaOpposite (=1/sin)
Cotangensfunctie:
cot(θ) = AangrenzendOpposiet (=1/tan)

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *